Альманах
  Главная страница

 

Выпуск: N 11\12, декабрь 2003 года

Экономика.Энергетика.Физическая экономика


Количество, качество и мера в автоматизированных системах управления (часть 2)

П.Г. Кузнецов

Недалеко от точки A расположится самолет, рекордный по скорости (pc), так как у него очень малое время полета, и следовательно εт, и максимально возможный относительный вес двигательной установки, т.е. εд.у. Между рекордными самолетами расположатся истребитель, разведчик и бомбардировщик, у которых требующаяся им дальность заставляет против самолета, рекордного по скорости, увеличивать относительный вес топлива εт и тем самым уменьшать относительный вес двигательной установки εд.у, т.е. максимальную скорость.

Таким образом, уравнение существования самолета показывает, что при данном уровне техники различные типы самолетов получают различные летно-технические данные благодаря различию в распределении массы самолета между его частями" [11].

Обращая внимание читателя на введение "идеальных" самолетов с рекордной дальностью и рекордной скоростью, мы показываем методический прием, который и характеризует понятие предельных технических возможностей. Если мы отталкиваемся от технического предела, который определяется уровнем развития техники, то получаем возможность все конкретные случаи находить внутри установленных границ. При эмпирическом подходе наше описание технической системы всегда страдает неполнотой.

Рассматривая идеальную транспортную мощность транспортной системы, мы вводим представление о верхнем пределе использования технических средств системы. Совершенно очевидно, что этот предел не достигается ни при каком фактическом использовании технических средств, но мы получаем меру, которая показывает нам долю используемых технических возможностей системы.

В табл. 1 летно-технических данных самолетов для истребителя и разведчика доли масс на топливо и двигательную установку остаются практически постоянными (0,52 - для истребителя и 0,50 - для разведчика). Однако эта доля для бомбардировщика стала заметно меньше — 0,35. Хотя доля массы на планер меняется незначительно от 0,32 до 0,35, мы видим, что 0,14 массы перешло в раздел полезной нагрузки. Действительно, в последнем случае доля полезной нагрузки возрастает почти в 2 раза, что приводит к тому, что скорость самолета падает до 140 против 180 (для разведчика) и 200 км/ч — для истребителя.

Нетрудно показать, что с увеличением удельной мощности двигателя мы можем получить большую скорость, если все остальные характеристики останутся без изменения.

Проведенная В.Ф. Болховитиновым нормировка всех летательных аппаратов на общую массу технического средства весьма удобна только для самолетов. Для таких технических средств, как трубопроводный или железнодорожный транспорт, это правило нормирования на единицу может оказаться весьма далеким от реальных характеристик. Не следует требовать от авиаконструктора, чтобы он расширил свое изложение на все транспортные системы. В данном подразделе мы конкретнее познакомились с такими понятиями, как потенциальная возможность и техническая возможность в применении к техническим средствам транспортировки грузов. "Идеальные самолеты", которые не могут летать, являясь крайним случаем того, что допускает уровень развития техники, и дают наглядный пример потенциальной возможности. Все виды технических усовершенствований поддаются осмысливанию авиаконструктором именно потому, что каждое (через изменение массы при сохранении свойства) может быть выражено как уменьшение соответствующей доли в уравнении существования. Любое усовершенствование только перераспределяет эти доли, что и позволяет оценивать его значение по отношению к целому.

В заключение отметим, что наиболее важным для разработчика систем управления является аддитивность используемых в методе В.Ф.Болховитинова характеристик. Заметим, что эти удельные характеристики, отнесенные к одной и той же физической величине, могут быть пересчитаны по отношению к любой другой физической величине, если она присутствует в уравнении существования.

4.4. ПЕРЕХОД ОТ ОДНОЙ НОРМЫ К ДРУГОЙ. ПЕРЕНОРМИРОВКА

Когда мы имеем описание некоторой системы, в которой уже выполнено нормирование на единицу по одной физической величине, можно перейти к другому виду нормирования, заменяя одну физическую величину другой. Такой переход возможен только тогда, когда одно описание, нормированное на единицу, уже существует.

Из уравнения существования летательного аппарата видно, что совершенствование конструкции заключается в том, чтобы заданные качества обеспечить при использовании минимальной массы. Ставя задачу уменьшения массы при сохранении характеристик, мы получаем уменьшение взлетной массы самолета при той же самой мощности двигателя. Это изменившееся соотношение между массой и мощностью двигателя и дает нам выигрыш в скорости. Если все характеристики летательного аппарата остались теми же (полезная нагрузка осталась без изменения), то более высокое совершенство приводит к росту скорости доставки при той же мощности двигательной установки. Конструктор летательного аппарата может неявно контролировать совершенство конструкции самолета по росту скорости доставки.

В уравнении существования самолета имеется член, который связывает полную мощность двигательной установки с ее массой. Этот член принято называть удельной мощностью на единицу массы двигателя. С другой стороны, мощность двигателя расходуется на перемещение самого двигателя, горючего, планера и полезной нагрузки. Если уравнение существования летательного аппарата перенормировать на единицу мощности двигательной установки, то мы получим уравнение мощности, которое показывает, какие доли мощности расходуются на то, чтобы перемещать горючее, планер и, наконец, (но не в последнюю очередь!) полезную нагрузку.

В данном случае выполнение перенормировки не встречает особых затруднений. Доля массы, которая соответствует полезной нагрузке, является показателем совершенства технического средства, так как те доли массы, которые обеспечивают работу технического средства, сами по себе не составляют услуги транспорта. Более того, можно выделить два вида коэффициента полезного действия двигательной установки,

1. Коэффициент полезного действия самого двигателя, который определяется отношением мощности на валу двигателя к мощности, потребляемой двигателем. Величина потребляемой мощности определяется расходом горючего на единицу мощности, либо электрической мощностью, преобразуемой в мощность на валу.

2. Коэффициент полезного действия по отношению к массе полезной нагрузки, который определяет мощность, приходящуюся на действительное перемещение полезного груза.

Поскольку уровень производительности труда в народном хозяйстве определяется через полезную мощность на одного занятого в системе общественного производства, то повышение этих двух коэффициентов дает возможность повышать производительность труда при постоянном значении энерговооруженности.

С другой стороны, проведенный прием нормирования на единицу массы или мощности имеет смысл, если в сумму входит все, что составляет рассматриваемый объект. Даже очень хороший самолет не может быть использован, если он не обеспечивается хорошей службой аэродромного обслуживания. В силу названного обстоятельства переход от технического средства к транспортной системе требует расширения уравнения существования. Уравнение существования летательного аппарата — только иллюстрация использования метода. Подобно тому как можно осуществить, переход от относительных масс летательного аппарата к относительным долям мощности внутри отдельного технического средства, можно рассмотреть суммарную мощность всей транспортной системы. В этом случае полная мощность транспортной системы может быть представлена как сумма всех мощностей, обеспечивающих работу транспортной системы,

Один компонент этой суммы — физическую мощность мы уже рассмотрели при анализе отдельного технического средства. В любой транспортной системе имеются производственные мощности (и соответствующая им физическая мощность) погрузочно-разгрузочных средств, на поддержание в исправном состоянии трассы и пунктов погрузки-выгрузки, по ремонту подвижного состава и т.д. Уравнение существования транспортной системы и является суммой этих мощностей, где каждое свойство системы — конкретная мощность — представлено по отношению к абстрактной мощности. Суммированию подлежат абстрактные (т.е. физические) мощности. Сумма этих мощностей, как и в уравнении В.Ф. Болховитинова, принимается за единицу. Каждое отношение мощности к абстрактной имеет тот же вид, как, допустим, отношение массы двигательной установки к ее мощности, что дает величину, которая связывает необходимую мощность с массой двигателя.

Эта нормировка и была нами сделана на величину удельной средней скорости транспортировки грузов. Переход от одного вида нормирования к другому позволяет переходить от "потерь" удельной скорости доставки к пропорциям мощностей технических средств.

Переход в описании всех видов технических систем с нормированием на единицу мощности связан с работами американского инженера Г. Крона. Примерно к 1930 г. было обнаружено, что любая машина и любой механизм выполняет свое производственное назначение лишь в условиях передачи потока энергии от источника к нагрузке. В этом смысле все технические системы обладают подобными свойствами в том смысле, что все они потребляют физическую мощность и все они обладают полезной мощностью, которую мы и отождествили с конкретной мощностью. Именно по этой причине нормирование на единицу мощности обладает своеобразной универсальностью.

Подобно тому как перераспределение массы самолета между массой двигательной установки и массой топлива меняет характеристики летательного аппарата, перераспределение физической мощности между мощностью подвижного состава и мощностями на погрузочно-разгрузочные работы, поддержание пути, мощностью ремонтных предприятий приводит к росту транспортной мощности системы при одной и той же величине потребляемой мощности.

Переход к унифицированному описанию всех технических систем как сетей распределения мощности связан с созданием и разработкой Г. Кроном тензорной методологии [12].

4.5. ОСНОВЫ ТЕНЗОРНОЙ МЕТОДОЛОГИИ Г. КРОНА

Колоссальное разнообразие технических систем, различие их размеров и целевого назначения ставят перед разработчиком автоматизированной системы управления множество взаимосвязанных проблем. В этих условиях желательно иметь такой метод, который позволяет переходить от одной части системы к другой без изменения подхода. Заметное продвижение в указанном направлении и связано с тензорной методологией Г. Крона.

Сделаем существенную оговорку: тензорная методология Г. Крона является лишь названием подхода и, хотя в реализации этого подхода используется и тензорная алгебра, и тензорный анализ, но эти математические инструменты не характеризуют суть дела. Суть дела характеризует наличие инварианта, т.е. положение о том, что при всех допустимых изменениях имеется "нечто", что остается без изменения. Подробно рассмотренный метод В.Ф. Болховитинова также включает в себя этот же элемент — уравнение существования можно рассматривать как инвариантную "линейную форму", что и было представлено как октаэдрическая норма вектора долей массы,

В работах Г. Крона роль такой линейной формы, остающейся инвариантной при всех преобразованиях, играет мощность. Принимая к рассмотрению все конструкции с единичной величиной мощности, он позволяет находить долю полезной мощности, которая и имеет место на выходе технического средства. Этот переход от нормирования летательных аппаратов на единицу массы к нормированию всех технических систем на единицу потребляемой мощности образует фундамент тензорной методологии Г. Крона.

Для поддержания постоянной скорости выпуска любого продукта требуется постоянство потребляемой мощности. В силу названного обстоятельства даже такое специфическое, характерное для экономических систем понятие, как простое воспроизводство, характеризуется (при неизменных условиях производства) постоянством величины потребляемой мощности.

Наличие существенной связи между скоростью выпуска любого продукта и потоком энергии образует первый элемент связи между техникой и экономикой. Роль второго элемента связи играет связь между полезной мощностью (т.е. скоростью выпуска продукта) и расходом общественного рабочего времени. Работы В.Ф. Болховитинова и Г. Крона и обеспечивают выполнение этого первого шага.

Рассмотрим основные положения работ Г. Крона. Эти положения изложены Г. Кроном в виде постулатов обобщения[13]. Их последовательность и является последовательностью решения проблем, с одной стороны, и проектирования систем — с другой.

В предисловии к работе[14] "Применение тензорного анализа в электротехнике" Г. Крон писал:

“Одно из назначений этой и других книг автора состоит в том, чтобы показать, как можно организовать составление, преобразование и решение уравнений сложных технических систем и как использовать эту организацию для получения новых сведений о системах. В дальнейшем подробно изучается только составление уравнений и рассматривается только одно из многих преобразований - исключение переменных.

...Ниже коротко излагается сущность предлагаемого метода анализа технических задач как электрического, так и механического характера...

...Последовательность действий должна быть такова:

1. Не анализируйте непосредственно данную систему, так как она сложна Вместо этого составьте сперва уравнения другой, родственной системы, которую гораздо легче анализировать или уравнения которой уже были получены в другом случае.

2. Затем перейдите от уравнений простой системы к уравнениям сложной системы путем стандартных преобразований.

Правила преобразования уравнений более простой или известной системы в уравнения данной системы дает тензорный анализ.

Немедленно возникает вопрос: как выбираются более простые системы? Существуют два способа, которые могут быть применены каждый в отдельности или оба одновременно.

1. Разбейте сложную систему на несколько составляющих систем удалением некоторых, определенным образом выбранных связей так, чтобы каждую составляющую систему можно было легко анализировать. Это разложение может быть выполнено в несколько последовательных приемов.

...Если уравнения каждой из этих составляющих систем не были выведены ранее, то каждая составляющая снова подразделяется на еще более мелкие части, уравнения которых могут быть получены.

Группа составляющих систем, получающихся в результате последнего из необходимых делений, называется элементарной системой.

Если уравнение какого-либо элемента однажды составлено, нет необходимости повторять все выводы с самого начала, когда этот элемент используется как часть иного технического устройства. Таким образом, результаты всех исследований, выполненных с помощью тензоров, могут быть заготовлены для будущего использования в задачах различных типов, подобно тому как стандартизованные детали машин заготовляются для сборки разнообразных конструкций.

2. В дополнение к разложению сложной системы на несколько составляющих систем примите новые, более простые, координаты для исходной или для составляющих систем.

...Правила перехода от уравнений "элементарной системы" к уравнению действительной системы составляют содержание так называемой теории преобразования, или преобразования координат.

Это преобразование представляет собой основу тензорного анализа” [15].

Сложность транспортной системы заставила нас искать элементарный акт в транспортировке грузов. Описанием такого элементарного акта может служить уравнение движения любого транспортного средства. Это уравнение движения характеризуется тем, что сила сопротивления движению имеет две составляющие: первая зависит от скорости движения линейно, а вторая меняется по квадратичному закону. Из уравнения движения элементарной системы следуют выражения для транспортной мощности и транспортной работы. В качестве единицы измерения последней мы и вводим новую единицу — тран. Нам не понадобилось выводить уравнения движения, так как они уже давно получены.

Следует обратить внимание на то, что единицы измерения относятся к специфике самого движения, а не к технической реализации. Здесь мы имеем дело с транспортным аналогом так называемой машины Карно, с которой сравниваются все конкретные машины. Эта фиксация в качестве мер физических измеряемых величин и составляет отличие работ Г. Крона от тензоров математики. Он отмечал, что тензоры — это другое имя для физических измеряемых величин. Эти физические измеряемые величины и наделяют жизнью безжизненные формулы математических уравнений. Он пишет:

"Непосредственной задачей настоящей книги является введение в технические исследования только таких понятий, которые разработаны физиками для изучения простейшего элемента системы.

Предлагаемые формулы и методы решения основаны на убеждении, что технические науки отличаются от физических наук только следующим:

1) применением большого числа переменных;

2) большим разнообразием координатных систем;

3) построением более сложных пространств.

Основные символы, применяемые в обеих науках, идентичны. Они и должны быть идентичны в силу идентичности рассматриваемых физических явлений" [16].

Мы полагаем, что указанное отличие технических наук от физики еще более сильно сказывается в области инженерно-экономического анализа технических систем.

Завершая цитированную работу, Г. Крон отмечает:

"Главной задачей настоящей книги является разработка строгого способа составления уравнений, определяющих поведение электротехнических систем. Для этого были введены некоторые элементарные понятия тензорного анализа.

Задачей тензорного анализа, однако, является не только составление строгим способом уравнений, определяющих поведение системы. Это только второстепенная задача. Значительно более важной задачей тензорных понятий является представление поведения физических систем при помощи измеряемых величин, т.е. при помощи только тензоров. ...Вообще уравнение физической системы может быть представлено при помощи модели (эквивалентная цепь), только если оно является тензорным уравнением" [17].

В этом смысле описание всяких технических и социально-экономических систем при помощи измеряемых величин только в силу того, что это описание опирается на измеряемые величины, и является тензорной методологией в том смысле, как это понималось Г. Кроном.

4.6. ОБОБЩАЮЩИЕ ПОСТУЛАТЫ Г. КРОНА

Последовательное продвижение в анализе и синтезе систем, характеризующее методологию тензорного анализа у Г. Крона, можно представить в виде последовательности постулатов. Эти постулаты играют роль "километровых столбов" на пути к решению проблемы. Если вы идею по указанной дороге, то не можете выйти к столбу с указателем 2, не пройдя столба с указателем 1, не можете дойти до столба 3, не пройдя столбов 1 и 2. В данном подразделе мы пройдем только два "указателя" на этой дороге.

Стартовой точкой для анализа любой системы является нулевая отметка, роль которой играет предварительный постулат. Предварительный постулат указывает, что числовые соотношения, наблюдаемые в окружающем нас мире, могут быть "свернуты" до алгебраических соотношений. Мы принимаем, что задачей математического описания является выражение возможно более длинной цепи понятий наиболее короткой цепочкой символов. В некоторых случаях нам это удается сделать, а в некоторых нет.

Устанавливая числовые соотношения между некоторыми измеряемыми величинами, мы можем иногда бесконечное множество числовых соотношений заменять одним алгебраическим уравнением. Однако такие "устойчивые" алгебраические соотношения мы обнаруживаем лишь для некоторых классов явлений, которые отождествляются с известными физическими законами.

Например, если исследуют экспериментальную зависимость между жесткостью пружины и ее растяжением под действием сил различной величины, то большое количество экспериментальных данных, связывающих растяжение с величиной действующей силы, может быть представлено одним алгебраическим уравнением

(4.1)

где f — действующая сила; x - растяжение или удлинение пружины; k -жесткость пружины.

Полученное алгебраическое уравнение описывает не только ту пружину, которую мы экспериментально изучили, но и бесконечное множество других пружин, обладающих одним и тем же свойством: удлинение пружины пропорционально действующей силе. Если это свойство имеет место, то полученное выражение можно применять к пружинам с различной жесткостью, различной величиной прикладываемой силы и различным удлинением.

Данное соотношение выражает закон Гука.

Этот привычный всем постулат, дающий некоторые соотношения, "ведет себя хорошо", если в таком обобщении мы имеем дело с физическим законом. Если мы имеем дело с некоторой таблицей, где одна величина изменяется пропорционально другой, то формально можно получить подобную запись. Но такая замена оказалась бы мало полезной: это верно для данного эксперимента, но может оказаться неверным при использовании этого выражения в новых условиях.

Предварительный постулат можно представить в следующем виде: бесконечное разнообразие арифметических уравнений может быть заменено одним алгебраическим уравнением того же самого вида, если каждую "цифру" заменить соответствующей "буквой".

Сохранение формы уравнения или его вида является сохранением размерности тех величин, которые входят в запись. Буквы алгебраического уравнения являются символами размерностей физических величин, связанных данным законом физики.

Такая замена численных значений алгебраическими соотношениями облегчает решение задач и дает большую наглядность, так как смысл (или размерность) используемых физических величин остается во всех случаях без изменения. Применение алгебры на промежуточных этапах расчета не означает, что мы избавляемся от некоторого минимума вычислительной работы. В конце анализа все буквы должны быть заменены числами и с этими числами должны быть выполнены арифметические операции.

При рассмотрении множества подобных элементов, различающихся (в соответствии с приведенным примером) приложенными силами, жесткостями пружин, удлинениями, соединенными между собою произвольным образом, можно записать матричное уравнение, которое имеет тот же вид, что и исходное скалярное. Это означает, что для любой совокупности взаимосвязанных пружин, которые деформированы произвольными (но не выводящими за действие закона Гука) силами, вид уравнения остается тем же самым. Это и есть постулат первого обобщения Г. Крона.

В нашем случае, при анализе транспортных систем, мы имеем дело со скалярным уравнением, выражающим зависимость силы от скорости движения любого транспортного средства в виде

(4.2)

где f — сила сопротивления движению; v скорость движения; k1коэффициент, зависящий от скорости линейно; k2 коэффициент, зависящий от скорости квадратично.

Это же самое скалярное уравнение может быть обобщено до матричного уравнения, поскольку от увеличения числа пружин и способа соединения пружин закон Гука не зависит. Такое обобщение имеет смысл только тогда, когда мы знаем, что увеличение числа элементов и введение связей между ними (которые "изменяют" только "вид" физической системы) не приводят к возникновению нового физического закона. Именно это тензорное свойство физических законов и позволяет получать столь необходимое обобщение, способствующее описанию и синтезу технических систем. В данном случае изменяется число степеней свободы технической системы, но не изменяется, т.е. остается инвариантным, физический закон данного процесса.

Перейдем от скалярного уравнения одной пружины к матричному уравнению с n пружинами. Представим все силы, которые действуют на сеть взаимосвязанных пружин, в виде вектора сил:

Представим все удлинения всех пружин в виде вектора смещений:

Наконец, все жесткости пружин представим в виде матрицы жесткостей:

В этом случае матричное уравнение имеет вид

(4.1a)

Мы видим, что внешний вид уравнения не изменился, но вместо каждой "буквы" скалярного уравнения у нас теперь стоит матрица. Компоненты этого уравнения представляют те же сущности — вектор сил соответствует силе, вектор смещений соответствует одному смещению, а матрица жесткостей соответствует жесткости одной пружины.

Если мы знаем о существовании электромеханической аналогии, то мы можем построить "электрический аналог" такой взаимосвязной сети пружин в виде подобной сети, например, из электрических конденсаторов. Решение последней задачи содержится в работах Г. Крона.

Переход от уравнений движения для транспортных систем к его электрическому аналогу представляется довольно сложным уравнением Больцмана—Гамеля, составляющим основу неримановой динамики:

(4.2a)

В данном случае наши потребности инженерно-экономического анализа не распространяются на конкретные методы решения подобных систем. Для нас существен другой факт: нужное для инженерно-экономического анализа описание существует. Необходимо использовать в экономическом анализе основные идеи этого метода. Сравним уравнения (4.1) с (4.1a) и (4.2) с (4.2a): каждой букве скалярного уравнения соответствует матрица в матричном уравнении. Кроме того, физический смысл каждого символа в матричном уравнении остался тем же самым. Нам не нужно вспоминать, что означает тот или иной символ уравнения, так как физический смысл каждого символа остается тем же самым, а текущий индекс или индексы не изменяют этого смысла.

В уравнении (4.1) у нас встречаются три понятия, каждому из которых соответствует определенный физический смысл:

1) f - действующая сила;

2) x растяжение пружины;

3) K жесткость пружины.

В уравнении (4.1a) у нас встречаются те же самые три понятия, каждому из которых соответствует определенный физический смысл:

1) fα множество действующих сил;

2) xβ множество растяжений пружин;

3) Kαβ множество жесткостей пружин.

Аналогично в уравнении (4.2) у нас встречаются четыре понятия:

1) f - сила сопротивления движению;

2) V — скорость движения;

3) K1 - коэффициент, зависящий от скорости линейно (трение);

4) K2 коэффициент, зависящий от скорости квадратично (лобовое сопротивление).

В уравнении (4.2a) опять сохраняются те же самые физические понятия, но относятся они к множеству технических транспортных средств:

1) fα - множество сил сопротивления движению;

2) Vβ, Vγ множество скоростей движения;

3) Kαβ множество коэффициентов "трения";

4) Tαβγ множество коэффициентов лобового сопротивления движению (аэродинамические качества).

Этот переход от скалярного уравнения (т.е. от одной степени свободы) к матричному уравнению (т.е. к множеству степеней свободы или к множеству элементов той же самой природы) и составляет суть постулата первого обобщения.

Обратим особое внимание на то, что уравнения (4.2) и (4.2а) имеют смысл для любого транспортного средства: самолета, корабля, трубопровода, автомобиля и железнодорожного состава.

Постулат первого обобщения формулируется так: N алгебраических уравнений, описывающих физическую систему с N степенями свободы, могут быть заменены одним матричным уравнением, имеющим тот же самый вид, что и исходное алгебраическое уравнение, если каждую букву скалярного уравнения заменить соответствующей N-й матрицей. Все действия, которые можно делать с матричными уравнениями, весьма похожи на действия, которые можно делать с алгебраическими уравнениями.

Такая замена сокращает анализ и сохраняет физический смысл выполняемых действий. Операции, которые можно осуществлять с n матрицами, соответствуют известным операциям матричной алгебры. Тем не менее в конце анализа в каждую Nю матрицу необходимо подставить ее элементы, которые состоят из алгебраических символов; затем каждую букву в алгебраическом выражении надо заменить числом и проделать необходимые операции.

Уже на стадии постулата первого обобщения Г. Крон предупреждает нас о возможности попасть в тупик.

Многомерные матрицы, содержащие два, три и большее число индексов, соответствуют многомерным массивам чисел, характеризуя "банки данных". Если придерживаться тензорной методологии Г.Крона, то требуется весьма тщательно следить, чтобы каждый компонент списка был одной и той же размерности. В этом и только в этом случае работа с многомерными матрицами позволяет использовать весьма развитый аппарат алгебры, т.е. работать со стандартными преобразованиями.

Переход от скалярного уравнения к матричному вовсе не означает переход от "однопродуктной" к "многопродуктной" модели. Изменение числа компонентов не выводит нас за содержание физики явления. Мы пользуемся одним и тем же законом, когда работаем и со скалярным и с матричным уравнением.

Использование многомерных матриц, как и использование индексных обозначений, не имеет ничего общего с тензорами: тензорная природа скрыта в размерностях величин. Для перехода от матричного исчисления или от матричной алгебры к тензорной необходим еще один постулат, который Г. Крон называет постулатом второго обобщения.

Постулат второго обобщения можно назвать постулатом "включения взаимодействия", т.е. постулатом, который дает возможность отличать элементы системы от связей, которые соединяют элементы.

В задачах физики мы находим численные значения компонент одного и того же вектора в новой системе координат, имея в своем распоряжении численные значения компонент этого вектора в исходной системе координат и правило, которое позволяет по компонентам исходного вектора найти компоненты того же вектора в новой системе координат.

Здесь неявно предполагается, что вектор тот же. Это предположение требует сохранения некоторой величины, имеющей смысл длины вектора. Длину вектора можно задавать с помощью линейной, квадратичной форм. В тензорном анализе в отличие от тензорной алгебры сохраняются линейная дифференциальная форма, квадратичная дифференциальная форма и т.д.

Сохранение той или иной формы и означает, что до и после преобразования координат мы имеем дело с тем же самым объектом.

Г. Крон рассмотрел задачу о преобразовании одной конструкции машины в другую (эти машины можно моделировать эквивалентной электрической сетью) как преобразование координат. Для того чтобы изменение связей в технической или экономической системе можно было описывать так же, как преобразование координат, необходимо найти такую линейную форму, которая остается постоянной, или инвариантной. Такой инвариантной линейной формой у Г. Крона является инвариантность мощности, которая на языке физики звучит как закон сохранения мощности.

Роль отдельных предприятий, как и отдельных технических средств, играет мощность. "Преобразование координат" соответствует соединению в систему общественного производства. При различных способах соединения одних и тех же предприятий с одной и той же производственной мощностью (т.е. с теми же самыми технологическими коэффициентами) полезная мощность всей социально-экономической системы будет различна. Это положение можно представить как "соединение предприятий" таким способом, чтобы иметь максимальное количество встречных перевозок. Те же самые предприятия могут быть соединены и таким способом, что минимизируется количество встречных перевозок. Мощности предприятий остаются теми же самыми, а темпы роста производительности труда в системе общественного производства будут различными. "Соединение предприятий" представляется математически как матрица, элементы которой состоят из ± 1 и нулей. Экономический смысл этих элементов весьма прост: нули означают, что взаимных связей между элементами (предприятиями, техническими средствами) нет, а положительные и отрицательные единицы означают направления связей между поставками и потребителями. Задание различных способов соединения и позволяет работать с одними и теми же мощностями, но с различными компонентами матриц, определяемыми способом соединения.

В представленном описании уровня производительности труда (см. формулу (2.16)) мы встречались с коэффициентом качества плана - ε, который характеризует согласованность скорости выпуска продукта со скоростью его потребления. Эта согласованность по потокам продуктов является согласованностью по мощности. Математическая запись этого понятия и дастся тензором соединения, использованным Г. Кроном в постулате второго обобщения. Достаточно отказаться от выражения всех скоростей выпуска продуктов через "абстрактную" и "конкретную" мощности, как мы лишимся возможности записывать изменение связей как преобразование системы координат. Инвариантность технических возможностей социально-экономической системы не означает инвариантности ее экономических возможностей, или скорости удовлетворения общественных потребностей.

Возвращаясь к постулату второго обобщения, заметим, что существует возможность продолжить "развертывание" теории, если у нас есть закон, или мера. Роль этой меры играет сохранение той или иной формы. Наличие формы и уравнений движения гарантирует существование группы преобразований. Таким образом, как замечает Г. Крон:

"...Может быть постулировано:

если известно матричное уравнение отдельной физической системы, то то же уравнение применимо для большого числа физических систем той же природы (для которых может быть образована группа матриц преобразования Cαα’ ), если каждую N-ю матрицу заменить соответствующим тензором.

...Если решение задачи выражено тензорным уравнением, то для получения численного ответа:

1. Каждый тензор должен быть заменен его составляющими в принятой системе отсчета, т.е. n матрицами.

2. Каждая N-я матрица должна быть заменена соответствующими алгебраическими символами.

3. Каждый алгебраический символ должен быть заменен числом"[18]. Последовательное использование тензорной методологии исключает введение большого количества символов, физический смысл которых трудно удержать в памяти при анализе систем. Количество символов точно равно количеству физических величин, которые используются в анализе системы. Качественное своеобразие компонент выражается не основными символами (изображающими тензоры), а переносится на индексы. Так, в уравнении существования летательного аппарата В.Ф. Болховитинова все доли массы могут быть обозначены индексами, а основная буква сохраняет физический смысл массы соответствующей части. Аналогичное положение мы встречаем и в работах Крона — качественное своеобразие каждого потока энергии выражается индексом, а основная или базовая буква по-прежнему отражает мощность.

Знакомство с тензорной методологией Крона позволяет более подробно рассмотреть понятие меры или закона при математическом описании технических и социально-экономических систем.

4.7. ЗАКОН ИЛИ МЕРА ПРИ МАТЕМАТИЧЕСКОМ ОПИСАНИИ РЕАЛЬНЫХ СИСТЕМ

Изложенное показывает, что инженерный анализ является первым этапом инженерно-экономического анализа той же системы. На втором этапе в рассмотрение вводится численность обслуживающего персонала. Действительно, как только определено оборудование для того или иного произвола ценного процесса, составляется нечто вроде "штатного расписания". Это "штатное расписание", например, для таких объектов, как ВАЗ или КамАЗ, зависит от оборудования, так как наличие той или иной операции предполагает наличие человека. Если на данной операции человек отсутствует, то вся технологическая цепочка, которая доводит изделие до этой операции, оказывается бессмысленной: результат труда по всей цепочке не имеет потребителя, так как именно данная операция и является потребителем результатов всей предшествующей цепочки. Перед отсутствующей операцией возникает внутрипроизводственный "товарный запас", который не имеет потребителя. Эта ситуация и характеризует "дефект" планирования как результат рассогласования между производственной мощностью предприятия и численность занятых в данном технологическом процессе.

Представим себе, что организационная структура создается из умозрительных соображений: где гарантия того, что все элементы, которые необходимы для работы указанного производственного конвейера, приняты во внимание? Такой гарантии нет, это и приводит к тому, что экономический анализ без первого шага не является анализом.

В реализации первого шага мы ограничиваем наш анализ физической величиной мощности, так как скорость выполнения любого производственного процесса (при данном наборе технических средств) пропорциональна величине физической мощности. Коэффициенты этой связи между скоростью выпуска продукта и физической мощностью, обозначенные как коэффициенты совершенства технологии, известны в задачах линейного программирования как технологические коэффициенты. Получение технологических коэффициентов необходимо при использовании любых экономико-математических методов. Предлагаемый способ получения технологических коэффициентов из инженерного анализа является универсальным в том смысле, что этот же метод дает и численные значения изменений этих коэффициентов при использовании изобретений и усовершенствований.

В реализации второго шага, т.е. при введении в анализ численности занятых, мы обнаруживаем причину того, что реальный выпуск не соответствует технологическим возможностям из-за рассогласования между "техническими" и "экономическими" возможностями, или скорости удовлетворения общественных потребностей.

Эта связь между техническими средствами и численностью представляет собой еще один "тензор соединения" Г. Крона, который и дает возможность измерять коэффициент качества плана.

При оценке полноты инженерного анализа нам необходимо убедиться в том, что инженерное описание пригодно для последующего экономического описания. Это означает, что должны существовать какие-то технические условия на инженерное описание, которые гарантируют переход к экономическому описанию. Подобно тому как решение системы уравнений оказывается возможным только тогда, когда число уравнений равно числу неизвестных, так и экономическое описание требует полноты инженерных данных. Необходимую полноту инженерных данных и дает то, что было названо тензорной методологией и иллюстрировалось работами В.Ф. Болховитинова и Г. Крона. Классификация различных мер, с которыми мы имеем дело в технических науках и в физике, дана в работах P.O. Бартини и П.Г. Кузнецова.[19]

Если говорить формальным языком, то полнота инженерного описания означает наличие трех составных частей математического описания.

1. Дан инвариантный объект, т.е. физическая величина, которая остается постоянной, или инвариантной, в рассматриваемом классе явлений.

2. Дан закон движения, характеризующий рассматриваемый класс явлений.

3. Дан закон преобразования, который позволяет найти численное значение характеристик процесса при любом заданном способе соединений элементов этого процесса.

Поскольку эти требования вытекают из требований полноты последующего экономического описания, то они фактически выполняются лишь в очень ограниченном числе случаев. Отсутствие указанных данных в инженерном анализе технических систем и создает трудности при экономическом описании тех же самых технических систем.

При наличии указанных данных технического описания можно легко перейти к экономическому описанию. В инженерно-экономических расчетах мы широко используем систему действующих цен, поэтому необходимо обеспечить связь между экономическими и инженерными характеристиками с помощью унифицированной единицы измерения. В качестве "базы" всех измерений удобно выбрать киловатт-час. Любое выражение в экономической теории включает в себя тот или иной аспект цен, т.е. связь данного процесса или явления с категорией "стоимость". Действующая система цен выражает стоимость каждого предмета или услуги в рублях. Воспользуемся (не предопределяя численное значение предлагаемого коэффициента) следующим масштабом перехода от рублей к киловатт-часам:

1 руб. -> 100 кВт -ч.

Этот переход означает, что в рамках действующей системы цен мы заменяем выражение цены предмета в рублях выражением "цены" того же самого предмета в киловатт-часах. В этом случае, если наши цены установлены правильно, то полученное выражение для "цены" в киловатт-часах будет означать количество киловатт-часов, которые страна расходует на изготовление конкретного предмета. Если находится способ, позволяющий на изготовление того же предмета расходовать меньшее количество киловатт-часов, то результатом применения нового способа будет именно то, что требует экономика — себестоимость изготовления данного предмета уменьшится: инженерный и экономический расчеты теперь совпадают в каждом элементе.

Выражение величины транспортной работы в гранах дает необходимую связь между затратами энергии и получаемыми результатами. Если транспортная работа остается той же самой (будучи выражена в транах), а расход энергии сократился, то мы можем говорить о росте обобщенного коэффициента полезного действия. Даже если расход энергии на ту же самую транспортную работу остался без изменения, но вследствие роста энерговооруженности труда на транспорте мы выполняем ту же работу с использованием меньшей величины общественного рабочего времени, то мы будем иметь рост производительности труда.

Возможность измерить затраты и результаты через физические измеряемые величины и означает возможность использования тензорной методологии как в анализе, так и в проектировании транспортных систем. Именно этот аспект методологии проектирования автоматизированных систем управления перевозочным процессом и составляет основную идею настоящей работы.



[1] Болховитинов В.Ф. Пути развития летательных аппаратов. М.: Оборонгиз, 1962. 131 с.

[2] Там же. С. 5.

[3] Там же. С. 5.

[4] Там же. С. 6.

[5] Там же. С. 7.

[6] Там же. С. 7.

[7] Там же. С. 8.

[8] Там же. С. 9.

[9] Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. М.: Физматгиз 1980:С. 120, 121.

[10] Болховитинов В.Ф. Пути развития летательных аппаратов. М.: Оборонгиз,1962. С. 36, 37.

[11] Там же. С 34, 35.

[12] Хотя в настоящее время более известны такие направления, как кибернетика, системный анализ, системотехника, можно заметить, что их возникновение прямо или косвенно связано с разработкой и использованием работ Г. Крона. Очень высокую оценку работ Г. Крона дал еще в 1936 г. выдающийся французский физик П. Ланжевен. В том же году была написана статья о работах Г. Крона и основоположником кибернетики Н. Винером.

[13] Крон Г. Применение тензорного анализа в электротехнике. М.; Л.: Госэнергоиздат, 1965. С. 6.

[14] Заметим, что это написано в 1942 г., т.е. за 6 лет до появления книги Н. Винера "Кибернетика".

[15] Там же. С. 10, 11. Поскольку мы цитируем русский перевод, можно заметить, что переводчики несколько вольно обращаются с текстом оригинала. Речь идет о группах преобразования, которые действительно составляют суть тензорного анализа, В силу названного обстоятельства последняя фраза цитируемого текста должна звучать так: "Эти преобразования представляют собою основу тензорного анализа".

[16] Там же. С. 14.

[17] Там же. С. 258.

[18] Там же. С.130,131

[19] Бартини P.O., Кузнецов П.Г. Множественность геометрий и множественность физик. Свердловск, 1979. С. 55-65.

Версия для печати [Версия для печати]

Гостевые комментарии: [Просмотреть комментарии (0)]     [Добавить комментарий]



Copyright (c) Альманах "Восток"

Главная страница